Τα παιδιά αναπτύσσονται και μεγαλώνουν «προικισμένα» εν δυνάμει με τη συσσωρευμένη πείρα εκατοντάδων χιλιάδων χρόνων. Προσλαμβάνουν τη γνώση κατ’ αναλογία με τα διαχρονικά βήματα του ανθρώπου από την άγνοια στη γνώση.
Αυτό είναι το πρωταρχικό κριτήριο για οποιονδήποτε σχεδιασμό στην Εκπαίδευση και για την κατάρτιση προγραμμάτων σπουδών.
Τί χρειάζεται ένα σύγχρονο παιδί;
Αν έχει εξασφαλίσει τροφή, υγεία, ασφάλεια, ειρήνη, έχει ανάγκη να ενδυναμώσει και να αξιοποιήσει τις αισθήσεις του. Να εξαντλήσει τις εν δυνάμει «προδιαγραφές» του, να τις εμπλουτίσει με τις εμπειρίες του, με το ζύμωμά του στο περιβάλλον και την κοινωνία.
Χρειάζεται -ανάλογα με τα ενδιαφέροντα και τις ιδιαίτερες κλίσεις του- να γνωρίσει τη Φύση, να ανακαλύψει τους νόμους της, να εξερευνήσει το περιβάλλον του, να «εφεύρει» ξανά τα μαθηματικά και τις τέχνες, να γνωρίσει τη μακραίωνη πολιτισμική μας κληρονομιά. Χρειάζεται Παιδεία.
Στη φύση κάθε παιδιού είναι ενσωματωμένη η ανάγκη για γνώση, εξαιρετική κληρονομιά από την εξελικτική προέλευσή του. Κάθε παιδί είναι από τη φύση του ένας μικρός εξερευνητής και ερευνητής, που επιδιώκει κατά περίπτωση να κάνει μεγάλα και σπουδαία πράγματα, σπουδαίες ανακαλύψεις, μεγάλες εξερευνήσεις, να πετύχει το «ακατόρθωτο»… έτσι, γενικά και αόριστα.
Τα παιδιά:
Δε νοιάζονται για τα μεγαλεπήβολα σχέδια των ενηλίκων.
Αδιαφορούν για την επιχειρηματικότητα, τα αφηρημένα μοντέλα πρόβλεψης, το χρηματιστήριο, τα ψώνια και τα νομίσματα που στα σχολικά βιβλία των πρώτων τάξεων μπερδεύεται το πλήθος τους με την ονομαστική τους αξία…
Τα αφήνουν αδιάφορα οι στατιστικές και η συλλογή δεδομένων, τα διαγράμματα1 και τα ραβδογράμματα, που με τα νέα προγράμματα σπουδών μπαίνουν από την πρώτη δημοτικού.
Δεν τα ενδιαφέρει το κόστος της σχολικής εκδρομής, αλλά η ίδια η εκδρομή.
Με γλαφυρότητα περιγράφεται στο βιβλίο Μαίρη Πόππινς2 της Παμέλα Λύντον Τράβερς3 η έλλειψη κάθε ενδιαφέροντος έως και η αποστροφή των παιδιών για το εμπόριο, το χρήμα, τις τράπεζες, τους τραπεζίτες, και τα σχέδια τους για ευόδωση των χρηματιστηριακών τους δραστηριοτήτων.
Οι δράσεις των παιδιών δεν έχουν συγκεκριμένο εκ των προτέρων σκοπό και στόχο. Δεν τα απασχολούν αρχικά οι βαθμοί, οι διαγωνισμοί, οι εξετάσεις, οι αριστείες, η προβολή. Αυτές τις «φιλοδοξίες» τις προβάλλει το Κράτος4 μέσα από την οργάνωση του Σχολείου. Οι ενήλικες τις υιοθετούν για λογαριασμό των παιδιών και τους τις υποβάλλουν, σαν το τυράκι στη φάκα, κίνητρο για «επιτυχημένη» πορεία στο σχολείο, για επιτυχημένη καριέρα, επιτυχημένη ζωή, επιτυχημένη…, όπως την εννοούν οι ίδιοι, ανασφαλείς για το μέλλον το δικό τους και το μέλλον των παιδιών τους.
Τα παιδιά, για να ανταποκριθούν στις «υποχρεώσεις» τους, καταβάλουν φιλότιμες προσπάθειες από «καθήκον» και όχι πάντοτε από ενδιαφέρον.
Τί τους προσφέρει το πρόγραμμα σπουδών αντί γι’ αυτά;
Για να καταλάβει κανείς πόσο κατανοούν τις ανάγκες των παιδιών όσοι συντάσσουν τα προγράμματα σπουδών και συγγράφουν τα σχολικά βιβλία, ας ρίξει ενδεικτικά μια ματιά στις ασκήσεις του βιβλίου των μαθηματικών της Α’ Γυμνασίου στο Κεφ. 5, με θέμα τα Ποσοστά σελίδα 83.5
Ή,
Νέο Πρόγραμμα Σπουδών ύλη Α΄ Δημοτικού!!! σελίδα 19
Πειράματα Τύχης και Πιθανότητες
Π.Π.1.1. Περιγράφουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα σε απλά πειράματα τύχης ενός σταδίου.
Π.Π.1.2. Περιγράφουν ένα ενδεχόμενο ως βέβαιο, πιθανό, αδύνατο.
Π.Π.1.3 Χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης δύο ή περισσότερων πιθανών αποτελεσμάτων ως δίκαιο-άδικο.
Τα προγράμματα σπουδών και τα σχολικά βιβλία, προϊόν σκοπιμότητας και βαθιάς αναχρονιστικής κρατικής προκατάληψης δεν ανταποκρίνονται στις ανάγκες των παιδιών.
Διαστρεβλώνουν τη διαλεκτική σχέση παιδιού, κοινωνίας, περιβάλλοντος. Παραβλέπουν στην πράξη ηθελημένα ότι κάθε παιδί έχει την προσωπική του πορεία προς την οικοδόμηση της γνώσης, χρειάζεται τον δικό του ιδιαίτερο χρόνο σκέψης και μελέτης6. Παρ’ όλον που στα λόγια λένε το αντίθετο.
Προσπαθούν να βάλουν σε προπλασμένο πήλινο καλούπι τη σκέψη των μαθητών. Το σχολείο της αγοράς, της επιχειρηματικότητας, των δεξιοτήτων είναι παρόν, ξεκινάει εξ απαλών ονύχων, για να γίνουν οι στόχοι του βίωμα.
Τα Μαθηματικά έχουν πρωταρχικό ρόλο στην εκπαίδευση
Ο σχηματισμός του μυαλού του παιδιού, το οποίο από την ίδια του τη φύση τείνει σε μη τυποποιημένα πράγματα, πρέπει να συνίσταται στη συσχέτιση του οποιουδήποτε πιθανού με το «συγκεκριμένο», και ένα από τα πιο εύχρηστα μονοπάτια, υπό αυτήν την έννοια, είναι ακριβώς το μονοπάτι των μαθηματικών σπουδών, διότι αυτές μπορούν να επιδράσουν στη διαμόρφωση της ίδιας της νοημοσύνης.7
Τα μαθηματικά είναι το κατ’ εξοχήν εργαλείο, ένα «πασπαρτού» για όλες τις επιστήμες. Μαζί με τα γλωσσικά μαθήματα, τις φυσικές επιστήμες και την ιστορία αποτελούν τη ραχοκοκαλιά της γνώσης. Πρέπει να καταβληθεί κάθε προσπάθεια, ώστε να γίνουν κατανοητά σε βάθος, έως εκεί που το κάθε παιδί έχει την απαιτούμενη ωριμότητα στη δεδομένη στιγμή. Χωρίς προκαταλήψεις του τύπου: «τα μαθηματικά είναι για λίγους!», «Αυτοί μπορούν, εκείνοι όχι!».
Κάθε παιδί με κανονική ευφυία είναι ικανό να μάθει αριθμητική8.
Το ότι τα μαθηματικά φαίνονται τόσο δύσκολα σε τόσο πολλά παιδιά οφείλεται στο γεγονός ότι τους τα επέβαλαν πολύ νωρίς άνθρωποι οι οποίοι δεν είχαν επίγνωση του πώς τα παιδιά σκέφτονται και μαθαίνουν9.
Σε έρευνα που έγινε σε 1.000 παιδιά, στο ερώτημα: «τί προτιμάς, να φας μπρόκολο ή να κάνεις μαθηματικά;» το 56% απάντησε μπρόκολο. Μήπως με τα νέα προγράμματα προτιμήσουν φάβα, αγκινάρες και σαλιγκάρια;
Στην πραγματικότητα τα παιδιά μαθαίνουν το κύριο μέρος της αριθμητικής ανεξάρτητα από τη διδασκαλία -είτε οικοδομώντας το από μόνα τους είτε παπαγαλίζοντας.10
Τα μαθηματικά δεν είναι σαν τις φυσικές επιστήμες, όπου ανακαλύπτουμε νόμους που προϋπάρχουν. Τα μαθηματικά -κατ’ αναλογία και η μουσική- είναι ευφυές δημιούργημα του ανθρώπου. Την υπαγόρευσε και την υπαγορεύει, όπως και τις τέχνες, η άμεση και πολλές φορές επιτακτική ανάγκη να λυθούν προβλήματα.
Στο βαθμό που προτρέπουμε τα παιδιά να τα «ξαναεφεύρουν», να τα οικοδομήσουν από μόνα τους κι έτσι να τα κατανοήσουν και να τα χειριστούν, τα μαθηματικά προσφέρουν και την ικανοποίηση της δημιουργικής νοητικής ενασχόλησης.
Αν θέλουμε να γίνουν προσιτά, διασκεδαστικά και ευχάριστα, σαν τέτοια εφεύρεση πρέπει να τα αντιμετωπίζουμε στην εκπαίδευση, και όχι σαν προνόμιο κάποιων λίγων «χαρισματικών πεφωτισμένων».
… Τα παιδιά έχουν τη δυνατότητα να σκέφτονται λογικά και ο αριθμητικός λογισμός αναπτύσσεται μέσα από αυτή τη φυσική τους ικανότητα11.
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΕΝ «ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΑΙ», ΤΑ «ΞΑΝΑΕΦΕΥΡΊΣΚΟΥΝ» ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ
Η Εκπαίδευση και τα προγράμματα σπουδών, ιδιαίτερα για τις Φυσικές επιστήμες και τα μαθηματικά, πρέπει να είναι ενιαία, από τα 3,5 περίπου χρόνια που ξεκινάει το δίχρονο Νηπιαγωγείο μέχρι και τις Πανεπιστημιακές σπουδές. Κλιμακούμενα από τάξη σε τάξη και ανά εκπαιδευτική βαθμίδα, τα μαθηματικά πρέπει να παίρνουν υπ’ όψη τους τη γενική αρχή: η διδασκαλία πρέπει να είναι βιωματική, εξατομικευμένη και συγχρόνως συλλογική.
Για τις μικρές ηλικίες, από το Νηπιαγωγείο και μέχρι τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού βιωματική μάθηση είναι εκείνη που αξιοποιεί και αναπτύσσει ολόπλευρα τις αισθήσεις των παιδιών Η «γλαφυρή» μεταφορά της πραγματικότητας σε ένα χαρτί ή στην οθόνη του υπολογιστή δεν εξυπηρετεί στα πρώτα στάδια μάθησης!! Μόνο βοηθητικά μπορεί να αξιοποιηθεί.
Είναι λάθος να πιστεύουμε πως με την αφηρημένη διδασκαλία της αριθμητικής, από την πρώτη μάλιστα τού Δημοτικού, μαθαίνουμε τα παιδιά να εργάζονται αφηρημένα…
…Την κλασική αριθμητική δεν την πρωτοκάνουμε ποτέ αφηρημένα. Θα έρθει και η αφαιρετική ικανότητα, αφού εργασθούν πολύ καιρό με έννοιες συγκεκριμένες.12
Η διδασκαλία «δεξιοτήτων» και τεχνικών μεθόδων για την πραγματοποίηση των πράξεων στην προσχολική και πρώτη σχολική ηλικία εμποδίζει την αυτόνομη ανάπτυξη της λογικομαθηματικής σκέψης και αδειάζει από περιεχόμενο τις νοητικές ενέργειες, οδηγώντας τελικά σε μαθηματικοφοβία.13
Η επισήμανση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί τεκμηριώνει όχι μόνο το άχρηστο αλλά και το βλαβερό της εμμονής των αναλυτικών προγραμμάτων και των σχολικών βιβλίων στις «τεχνικές μεθοδολογίες των πράξεων», στις δεξιότητες «για να καταλήγουμε σε σίγουρα αποτελέσματα»14
ΤΑ 8 ΠΡΩΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΧΡΟΝΙΑ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΟΡΙΣΤΙΚΑ
Αντίθετα από την κοινή παραδοχή, πως πρόκειται για ένα εύκολο στάδιο όχι τόσο βαρύνουσας σημασίας, όσο για παράδειγμα το Λύκειο -προθάλαμος των Πανεπιστημίων, τα 8 πρώτα χρόνια, Νηπιαγωγείο-Δημοτικό, είναι το βασικότερο και πιο κρίσιμο στάδιο της εκπαιδευτικής διαδικασίας για την πνευματική ανάπτυξη, τη μόρφωση και την εξέλιξη του παιδιού.
Η όποια συζήτηση για τα μαθηματικά αφήνει συνήθως απέξω το δημοτικό σχολείο, αλλά:
Κανείς δεν «ερωτεύεται» τα μαθηματικά στο Λύκειο, αν δεν τα έχει αγαπήσει στο Δημοτικό και λιγότερο ίσως στο Γυμνάσιο.
Σε μια συνέντευξή του, ο διακεκριμένος καθηγητής του Cambridge Αθανάσιος Φωκάς15 είπε: Αγάπησα τα μαθηματικά στο Δημοτικό, όταν έλυσα ένα δύσκολο πρόβλημα.
Μετά από πολύχρονη διδακτική εμπειρία, ο εκπαιδευτικός γνωρίζει πολύ καλά τη συγκλονιστική για τον δάσκαλο έκφραση μαθητών που πετυχαίνουν να κατανοήσουν και να λύσουν μόνοι τους προβλήματα, από τα πιο δύσκολα έως και τα πιο απλά των πρώτων σχολικών χρόνων.
Οι μαθητές ή γοητεύονται από τα μαθηματικά στο Δημοτικό ή απογοητεύονται με αποτέλεσμα να τα αντιπαθούν και να τα φοβούνται.
Αυτό είναι το συμπέρασμα από μία έρευνα του Πανεπιστημίου του Stanford σε μικρούς μαθητές. Για πρώτη φορά επιστήμονες στις ΗΠΑ μελετώντας νευροαπεικονιστικά του εγκεφάλου μαθητών του Δημοτικού, επιβεβαίωσαν ότι η θετική ψυχολογική στάση και προδιάθεση ενός παιδιού απέναντι στα μαθηματικά παίζει ρόλο-κλειδί εξίσου σημαντικό με τη νοημοσύνη, για το αν το παιδί θα έχει καλές σχολικές επιδόσεις.
Ο επικεφαλής ερευνητής γράφει:
Σύμφωνα με τα ευρήματά μας, είναι πραγματικά σημαντική η συμβολή της θετικής προδιάθεσης όσον αφορά τις επιδόσεις των μαθητών στα μαθηματικά, τόσο όσο και η συνεισφορά του δείκτη νοημοσύνης. Ούτε κι εμείς αναμέναμε τέτοια αποτελέσματα.
ΟΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΎ
Σε αυτά τα 8 πρώτα χρόνια της σχολικής τους ζωής, τα παιδιά πρέπει να οικοδομήσουν τις πρώτες γνώσεις τους για τα μαθηματικά. Να κατανοήσουν και να κάνουν κτήμα τους την αριθμητική -ιδιότητες αριθμών και πράξεων, διαφορετικές μορφές των αριθμών, δεκαδικό σύστημα αρίθμησης, λύση προβλημάτων- τα πρώτα βασικά στοιχεία της γεωμετρίας επίπεδης και στερεομετρίας, που αντιστοιχούν στις εμπειρίες τους και το δεκαδικό μετρικό σύστημα, που συνδέει τα μαθηματικά με άλλες επιστήμες και με καθημερινά προβλήματα.
Η μέτρηση αντιμετωπίζεται ως κοινωνική ανάγκη που καλύπτει όλα τα πεδία της έρευνας. Σκιαγραφεί τη σχέση ανάμεσα στις ανάγκες της πραγματικής ζωής και τα μαθηματικά.16
Δεν γίνεται να «μπουκώνουμε» τα παιδιά με λογής-λογής γνώσεις, κατακερματισμένες, ασύνδετες, αποσπασματικές, απρογραμμάτιστες, σ’ έναν εξάχρονο αγώνα δρόμου άγονο. Καλύτερα να «απλώσουμε» στοχευμένα τις γνώσεις από το νηπιαγωγείο προσφέροντάς τους όσα μπορεί κάθε φορά να αντέξει η ωριμότητά τους και με τον καταλληλότερο και πιο προσιτό για την ηλικία τους τρόπο.
Βασικοί «κανόνες» :
Η απλότητα και η σαφήνεια είναι οι κατ’ εξοχήν αναγκαίες ιδιότητες, για να κάνουμε τα πράγματα προσιτά στα παιδιά17
Πάντοτε (στις ασκήσεις μας) αρχίζουμε από τα συγκεκριμένα και προχωρούμε στα συμβολικά, για να φτάσουμε στο τέλος στα αφηρημένα, … 18
Οι άρρητοι αριθμοί, η άλγεβρα, η ανάλυση και η αναλυτική γεωμετρία, η στατιστική με την πάσης φύσεως συλλογή δεδομένων, τα διαγράμματα και τα μοντέλα δεν έχουν καμία θέση στα προγράμματα σπουδών του δημοτικού και αν συμπεριληφθούν θα γίνονται σε βάρος της απαραίτητης βασικής ύλης.
Ας δούμε τα νέα θεματικά πεδία και θεματικές ενότητες που περιλαμβάνει το νέο πρόγραμμα σπουδών για την Α΄ Δημοτικού:
Κανονικότητες
Συναρτήσεις και μάλιστα να αναγνωρίζουν οι 6χρονοι μαθητές σχέσεις μεταξύ συμμεταβαλλόμενων μεγεθών.
Αλγεβρικές παραστάσεις Τονίζεται να είναι απλές!!!)
Μετασχηματισμοί στη Γεωμετρία
Στατιστική, διαχείριση δεδομένων
Πιθανότητες, να περιγράφουν ένα ενδεχόμενο ως βέβαιο, πιθανό ή αδύνατο.
Να χαρακτηρίζουν ένα παιχνίδι τύχης δύο ή περισσότερων πιθανόν αποτελεσμάτων ως δίκαιο ή άδικο.
Μόνο οι στοχαστικές ανελίξεις, οι πολλαπλότητες, τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα και τα φράκταλ λείπουν από το «πανόραμα» του νέου προγράμματος!!! Τί κρίμα!
Το περιεχόμενό των νέων προγραμμάτων δεν αντιστοιχεί στην ωριμότητα που έχουν αυτές οι ηλικίες. Η πληθώρα των ακατάλληλων γνωστικών αντικειμένων19 θα τους στερήσει τον πολύτιμο χρόνο που απαιτείται για την εμπέδωση του βασικού προγράμματος της αριθμητικής, της «πρακτικής» γεωμετρίας και του δεκαδικού μετρικού συστήματος.
Αυτές οι γνώσεις θα ακολουθούν τα παιδιά μέχρι το Πανεπιστήμιο και στην μετέπειτα ζωή τους, είναι οι γερές βάσεις όπου θα οικοδομήσουν το σύνολο των μαθηματικών γνώσεων και είναι απαραίτητο να έχουν τον χρόνο τους για να τις κατακτήσουν αργά και σταθερά από μόνα τους και όχι να τις αναμασούν (πολλές φορές με λανθασμένο τρόπο) από τη διδασκαλία του δασκάλου και τα βιβλία, τα οποία δυστυχώς είναι ό,τι χειρότερο μπορούσε να συμβεί στα παιδιά, τους γονείς τους και τους εκπαιδευτικούς!!
Εκπαιδευτικοί που δίδαξαν μαθηματικά στο Λύκειο γνωρίζουν πολύ καλά ότι μαθητές στην Α΄ Λυκείου:
Λύνουν τις εξισώσεις και τα συστήματα με τον ανορθόδοξο τρόπο που τα έλυναν στο Δημοτικό, με «μαντεψιά» και αντικατάσταση και αδυνατούν να κατανοήσουν τη διερεύνηση εξισώσεων και συστημάτων.
Δεν έχουν κατανοήσει τη λειτουργία του δεκαδικού συστήματος από το δημοτικό και το Γυμνάσιο και εξακολουθούν να δυσκολεύονται.
Δυσκολεύονται στη χρήση των δεκαδικών αριθμών και των συμμιγών και στη λύση προβλημάτων εύρεσης ΜΚΔ και ΕΚΠ
Κατανοούν στη Γεωμετρία μόνο τα πρακτικά προβλήματα και αποστηθίζουν τις αποδείξεις. Ενώ δεν έχουν σαφή εικόνα της σύνδεσης της πραγματικότητας με τη Γεωμετρία.
Δυσκολεύονται στις μετατροπές των μονάδων μέτρησης
Και στο Λύκειο είναι πια αργά. Ο εκπαιδευτικός νιώθει ανήμπορος να επιδιορθώσει τη «ζημιά».
Τον άνθρωπο ό,τι δεν μάθει ή ό,τι μάθει στραβά στη μικρή ηλικία τον ακολουθεί σε όλη του τη ζωή.
Βασικό ρόλο παίζει ο «τρόπος»
Στην πράξη και μέσα στις σχολικές αίθουσες έχει διαπιστωθεί ότι από τις πολύ μικρές ηλικίες, ανάλογα και με την ωριμότητα κάθε παιδιού, οι μαθητές μπορούν να εξοικειωθούν με πολύ περισσότερες έννοιες, από αυτές που τα προγράμματα σπουδών προέβλεπαν .
Το θέμα βέβαια είναι ποιες έννοιες θα παρουσιάσουμε στα παιδιά, αλλά κυρίως ο τρόπος με τον οποίον θα τα προτρέψουμε να τις προσεγγίσουν.
Από το Νηπιαγωγείο ήδη το παιδί μπορεί τουλάχιστον
Να μετράει χωριστά αντικείμενα και συνεχή ποσά.
Να κατανοήσει τη φυσική διαδοχή των αριθμών, που εμπεριέχει και την έννοια της πρόσθεσης,
Να κατανοήσει την έννοια του μηδενός και να διακρίνει τους άρτιους και τους περιττούς.
Μια πρώτη γνωριμία και μελέτη των στερεών σωμάτων και η κατασκευή γεωμετρικών στερεών με χαρτόνι, από τα αναπτύγματά τους, ανταποκρίνεται στις δεξιότητες των μαθητών, αφού στο νηπιαγωγείο κάνουν διάφορες άλλες κατασκευές.
Το κατάλληλο εκπαιδευτικό υλικό «διδάσκει»
Η Lucy Crehan γράφει20 για την Φινλανδία21,
«Τα παιδιά στον παιδικό σταθμό και το νηπιαγωγείο δε μαθαίνουν με τον τυπικό τρόπο, καθισμένα σε θρανία, αλλά μέσα από το παιχνίδι.»
Η Constance Kazuko Kamii, ερευνήτρια και καθηγήτρια Προσχολικής Αγωγής στο Πανεπιστήμιο στην Αλαμπάμα των ΗΠΑ αφιέρωσε μεγάλο μέρος των ερευνών της στο ρόλο των παιχνιδιών στην εκμάθηση των μαθηματικών.
Το κατάλληλο εποπτικό υλικό, δίνοντας οπτική, ακουστική και απτική εικόνα στις έννοιες. βοηθάει περισσότερο από το βιβλίο στην οικοδόμηση των μαθηματικών εννοιών. Στις μικρές ηλικίες το εποπτικό υλικό υπό μορφήν παιχνιδιού μπορεί να γίνει δάσκαλος22.
Ενδεικτικά υλικά για το νηπιαγωγείο και τις μικρές τάξεις του Δημοτικού:
Η αντιστοίχιση της έννοιας του αριθμού 1, με ένα πραγματικό αντικείμενο που μπορεί να θεωρηθεί μοναδιαίο, όπως μία χάντρα, που παραλληλίζεται με το γεωμετρικό σημείο- είναι ένα κατάλληλο εποπτικό υλικό για την αρίθμηση και όχι μόνο. Το Μοντεσσοριανό εποπτικό υλικό με τις χάντρες, διαμορφωμένες ανά μία, ανά δύο, τρεις…, δέκα … εκατό… χίλια, είναι κατάλληλο για τα μικρά χέρια των παιδιών της προσχολικής ηλικίας, και των πρώτων τάξεων του δημοτικού και μπορεί να βοηθήσει σταδιακά στην εισαγωγή και κατανόηση των πράξεων και του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης.
Το σύστημα της Συναρμολογούμενης Κυβικής Παλάμης23 από κύβους ακμής 1mm, δίνει πολύ καλή εποπτεία και «πλέκει» αριθμητική με γεωμετρία, δίνοντας από την αρχή ευκαιρία για διάφορους συνδυασμούς και για την σταδιακή εισαγωγή και την κατανόηση των πράξεων, της μέτρησης επιφανειών, των τετραγωνικών και κυβικών μονάδων μέτρησης, των δεκαδικών αριθμών και του δεκαδικού συστήματος.
Τα γνωστά «ξυλάκια», που τα χρησιμοποιούσαν οι εκπαιδευτικοί εδώ και δεκαετίες 24, είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την εισαγωγή του δεκαδικού συστήματος.
Ράβδοι-ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, με κλιμακούμενο μήκος ανά 10cm μέχρι το ένα μέτρο, με κατάλληλους στοχευμένους συνδυασμούς μπορούν να δώσουν μια πολύ καλή συσχέτιση μονάδας, μοναδιαίου μήκους, αθροίσματος αριθμών και μηκών, μέτρησης συνεχών μεγεθών…Εισάγουν σαν πολύ διασκεδαστική εμπειρία και τον υπολογισμό του αθροίσματος των 10 πρώτων διαδοχικών αριθμών!!25
Υπάρχουν έξυπνες και εντυπωσιακές κατασκευές στερεών, από κανονικά πολύγωνα
Παιχνίδια με επίπεδα σχήματα βοηθούν τα παιδιά να ξεχωρίζουν τα είδη των γεωμετρικών σχημάτων.
Ειδικά παιχνίδια, κυρίως μοντεσσοριανά, βοηθούν στην κατανόηση των κλασμάτων.
Ειδικά επιτραπέζια παιχνίδια και παιχνίδια με τραπουλόχαρτα βοηθούν στην εξοικείωση με τις πράξεις.
Η αξιοποίηση κατάλληλων παιχνιδιών και εποπτικών μέσων, με σαφή και συγκεκριμένη διδακτική στόχευση, υιοθετήθηκε με έμφαση από πολλούς σπουδαίους επιστήμονες και παιδαγωγούς, εδώ και 100 και πλέον χρόνια.26
Όλα τα παραπάνω και άλλα πολλά είναι κατάλληλα για τις ηλικίες της προσχολικής και των πρώτων χρόνων της σχολικής εκπαίδευσης, όσο η αφαιρετική ικανότητα δεν έχει αναπτυχθεί και χρειάζονται χειροπιαστά αντικείμενα, που κινητοποιούν τις αισθήσεις.
Οι μαθητές ακόμη και στο Γυμνάσιο ξετρελαίνονται, αν ο δάσκαλος τους παρουσιάσει τα μαθηματικά με παιχνίδια χειροπιαστά ή νοητικά, με γρίφους, με φαινομενικά δύσκολα και ασυνήθιστα προβλήματα.
Το νέο Πρόγραμμα Σπουδών μιλάει γενικά και αόριστα για χειραπτικό υλικό, μεταφέροντας όμως το μπαλάκι στους εκπαιδευτικούς.
Συμπερασματικά:
Στο δημοτικό θα είναι πιο αποτελεσματικό να γίνουν τα μαθηματικά (και άλλα ενδεχομένως μαθήματα) πιο παιγνιώδη και σε κάθε σχολείο να υπάρχουν οργανωμένα πακέτα με το κατάλληλο εποπτικό υλικό έτοιμο για χρήση.
Το Δεκαδικό Σύστημα Αρίθμησης
Η καλή γνωριμία με το δεκαδικό σύστημα, αυτό είναι το κλειδί και για άλλες παραπέρα γνώσεις σχετικά με τους αριθμούς. 27
Τα μικρά παιδιά δεν τα τρομάζουν οι μεγάλοι αριθμοί. Ίσα-ίσα τα εντυπωσιάζουν και κινούν το ενδιαφέρον τους για να τους γνωρίσουν.
Έχοντας εξοικειωθεί στο Νηπιαγωγείο με την αρίθμηση έως το 10, οι μαθητές χρειάζεται να συνειδητοποιήσουν την ανάγκη οργάνωσης του πλήθους των αντικειμένων που αριθμούν, ώστε να είναι ευκολότερη και γρήγορη η απαρίθμησή τους.
Η παρουσίαση των αριθμών αρχικά μέχρι το 5, που γίνεται στα βιβλία της πρώτης Δημοτικού, τη στιγμή που στο Νηπιαγωγείο έχουν ήδη μάθει να μετρούν μέχρι το 10 είναι αψυχολόγητη. Και όλοι οι μετέπειτα διαχωρισμοί π.χ. μέχρι 100 , 1.000, 10.000 μέχρι το 100.000 …είναι ανούσιοι. Μπορεί τα παιδιά να αποκτούν τη γνώση κατ’ αναλογία με την εξέλιξη του ανθρώπου, αλλά έχουν προχωρήσει από το στάδιο του πρωτόγονου.
Ο μηχανισμός απαρίθμησης, οι πράξεις, οι ιδιότητες των αριθμών είναι ενιαίες διαδικασίες. Ο κατακερματισμός του συνόλου των αριθμών «από… έως» δεν εξυπηρετεί, συσκοτίζει. Ο μόνος διαχωρισμός που έχει βαρύνουσα σημασία είναι από το 1 έως το 9, όπου γίνεται το «άλμα» στην επόμενη μεγαλύτερης τάξης μονάδα, τη δεκάδα και από κάθε κατώτερη στην αμέσως ανώτερη μονάδα.
Το παρόν πρόγραμμα και τα βιβλία του 2007(!!!)28
Ο δάσκαλος στο σχολείο, και ο μαθητής με το γονιό του στο σπίτι, από τη στιγμή που είναι οργανωμένη η μάθηση όπως είναι, έχουν για «ευαγγέλιο» το διδακτικό εγχειρίδιο, το βιβλίο.
Η ύλη και τα αντίστοιχα βιβλία των τάξεων του δημοτικού, που διδάσκονται σήμερα δεν εξυπηρετούν τις ανάγκες των μαθητών.
Η ύλη :
είναι κατακερματισμένη και αποσπασματική
στερείται λογικής συνοχής, συνέχειας και ομοιογένειας.
δεν έχει σαφήνεια
Χειραγωγεί τη σκέψη του παιδιού και την κατευθύνει.
Αυτή η χειραγώγηση θυμίζει τα θέματα των Πανελληνίων, που οι εκφωνήσεις τους διαμορφώνονται από τον τρόπο που οι υπεύθυνοι της επιτροπής λύνουν τα θέματα, υποδεικνύοντας έτσι στους υποψήφιους συγκεκριμένο τρόπο λύσης.
Προωθεί την «κατανόηση» μέσω τυποποιημένων φορμαλιστικών μηχανισμών.
Συγχέει αριθμητική με γεωμετρία, αντί να τις συνδυάζει και να τις συσχετίζει.
Είναι κατ’ επίφαση της Φύσης και της Ζωής.
Είναι βεβιασμένα και πρόωρα αφαιρετική.
Είναι ένας αγώνας δρόμου συσσώρευσης ασύνδετων γνωστικών αντικειμένων και πολλές φορές αχρείαστων στη δεδομένη ηλικία .
Σ’ αυτές τις ηλικίες, δε βοηθούν στην οικοδόμηση της μαθηματικής σκέψης πολλά από τα περιεχόμενα στα υπάρχοντα βιβλία. Ενδεικτικά:
Η πρόωρη εισαγωγή των πράξεων αφαίρεση και διαίρεση.
Η πρόωρη εισαγωγή των δεκαδικών από στην Γ΄ τάξη. Η χρήση των δεκαδικών αριθμών και οι μετατροπές από δεκαδικά κλάσματα σε δεκαδικούς και αντίστροφα γίνονται με αποστήθιση μηχανισμών, ακριβώς επειδή δεν έχει ακόμη εξηγηθεί επαρκώς η οργάνωση του δεκαδικού συστήματος.
Η επιμονή στην αποστήθιση της προπαίδειας, υποδηλώνει έμμεσα ότι και τα μαθηματικά αποστηθίζονται.
Η προπαίδεια πρέπει να είναι προϊόν συλλογισμών, να χτίζεται επάνω στην πρόσθεση και να βοηθάει το παιδί να κατανοήσει τη συνάφεια των δύο πράξεων και τις ιδιότητές τους. Μικροί μαθητές με έφεση στα μαθηματικά δυσκολεύονται να απομνημονεύσουν την προπαίδεια. Η πίεση να την μάθουν βεβιασμένα τα αγχώνει. Η απομνημόνευσή της χρειάζεται χρόνο.
Οι αριθμητικές παραστάσεις είναι πολύ «αφαιρετικές» για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού. Ακόμη και στις μεγαλύτερες τάξεις υπάρχει δυσκολία για την κατανόησή τους. Πριν να έχουν συνειδητοποιήσει τα παιδιά τις ιδιότητες των αριθμών, την προτεραιότητα και τις ιδιότητες των πράξεων, η χρήση των αριθμητικών παραστάσεων είναι απολύτως άστοχη.
Το αρχαίο ελληνικό σύστημα αριθμητικής γραφής στην Γ Δημοτικού !!! είναι παράταιρο
Οι κακοσχεδιασμένες εικόνες για τον άβακα και για τα γεωμετρικά στερεά.
Η έμφαση στα μοτίβα και τις «κανονικότητες» . Ο όρος «κανονικότητα», μάλλον είναι (μεταφρασμένος) νεολογισμός, ασύμβατος με τη σαφήνεια των μαθηματικών.
Είναι επίσης ακατανόητη μία «ελαφρά τη καρδία» γενικότερη υιοθέτηση νεολογισμών, «εκλαϊκευτικών» όρων και ορισμών αδόκιμων, που δεν προσφέρουν κάτι καινούργιο , αντίθετα γίνονται σε βάρος της σαφήνειας και των απαιτήσεων της μαθηματικής ορολογίας, που καθιστούν τα μαθηματικά παγκοσμίως κατανοητή γλώσσα. Αν η ηλικία των μαθητών δεν είναι κατάλληλη για τους καθιερωμένους όρους, έννοιες και ορισμούς δεν τους «εκλαϊκεύουμε», απλά τους αναβάλουμε.
Είναι απαραίτητο να υιοθετούνται ενιαία οι καθιερωμένοι όροι, ορισμοί, συμβολισμοί σε όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες. Για παράδειγμα η σύγχυση στα ονόματα των στερεών. Στερεό ορθογώνιο, στο Γυμνάσιο και το Λύκειο δεν υπάρχει και είναι αδόκιμος μαθηματικός όρος.
Γεωμετρικά σχήματα, είναι η ευρύτερη έννοια και χωρίζονται σε επίπεδα και στερεά σχήματα. Στα σχολικά βιβλία δημιουργείται μία σύγχυση σχετικά.
Σύγχυση δημιουργείται και στην πρόσθεση, όταν δεν γίνεται σαφές ότι προσθέτουμε όμοια αντικείμενα. Πρόβατα με πρόβατα και αγελάδες με αγελάδες.
Αν τα προσθέσουμε όλα μαζί πρέπει να διευκρινίζεται ότι προσθέτουμε όλα τα ζώα του κτηνοτρόφου. Οι δάσκαλοι προφανώς το διευκρινίζουν, αλλά τα παιδιά στο σπίτι έχουν οδηγό το βιβλίο.
Οι «αλλοπρόσαλλες» αριθμογραμμές θα γίνουν «ευθεία των πραγματικών αριθμών» στο Γυμνάσιο και το Λύκειο και τότε δε θα γίνει απαραίτητα η συσχέτιση των διαφορετικών όρων. Εξάλλου ο όρος αριθμογραμμή είναι αδόκιμος διότι δεν έχουμε μια οποιαδήποτε γραμμή, αλλά ευθεία γραμμή. Επιπλέον τα σχετικά γραφικά δημιουργούν σύγχυση ως προς την έννοια της διαβάθμισης, διότι από μάθημα σε μάθημα και από τάξη σε τάξη η διαβάθμιση αλλάζει για να προσαρμοσθεί το σχήμα στις απαιτήσεις της κάθε σελίδας.
Δεν έχουν επίσης νόημα οι νεωτερισμοί στους μηχανισμούς των υπολογισμών, όπως για παράδειγμα στα ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά, οι πίνακες υπολογισμού, που δυσκολεύουν αντί να διευκολύνουν τα παιδιά.
Ο κατ’ εκτίμηση υπολογισμός δεν έχει νόημα στο Δημοτικό. Σ’ αυτές τις ηλικίες πρέπει να οικοδομηθεί η έννοια της ακρίβειας και της σαφήνειας. Δεν μπορεί το σχολείο «να παράγει» Πυθείες.
Οι ασκήσεις εύρεσης του στόχου. Πέρα από την ίδια την ορολογία -«στόχος»- και η γραφική παρουσίαση είναι ακατάλληλη και δεν πρόκειται για παιχνίδι ή βιωματική μάθηση.
Η γενικότερη χρήση πινάκων είναι επίσης έξω από τις πραγματικές δυνατότητες των παιδιών και τα ενδιαφέροντα της ηλικίας τους. Κι αν τους χρησιμοποιούν, αυτό γίνεται μηχανικά χωρίς σαφή κατανόηση της χρήσης, της σημασίας, και της χρησιμότητάς τους.
Τα πάσης φύσεως διαγράμματα είναι απολύτως άκαιρα. Πριν καλά μάθουν να γράφουν και να αριθμούν, δεν έχουν θέση οι αφαιρετικές διαδικασίες και δε βοηθούν στην οικοδόμηση μαθηματικής σκέψης.
Η κατασκευή μαθηματικών μοντέλων είναι πολύ αφαιρετική διαδικασία. Για να γίνει συνειδητά προϋποθέτει βαθιά γνώση και συνειδητοποίηση της χρησιμότητάς τους. Δεν ανταποκρίνεται ούτε στα ενδιαφέροντα ούτε στην ωριμότητα των παιδιών του δημοτικού.
Τα υπάρχοντα βιβλία των μαθηματικών στο Δημοτικό, , δεν έχουν καλοσχεδιασμένα σκίτσα, σαφείς εικόνες και καλαίσθητη εικονογράφηση και εμφάνιση. Είναι πολύ φτηνιάρικα για να εμπνέουν σεβασμό.
Σε βιβλία του δασκάλου αναπτύσσονται λεπτομέρειες και λύσεις προβλημάτων. Είναι αποκαρδιωτικό να δίνονται στα βιβλία του δασκάλου λανθασμένες λύσεις προβλημάτων των σχολικών εγχειριδίων.29
Δεν είναι θεμιτό και ηθικό θα λέγαμε, συγγραφείς των σχολικών βιβλίων να συγγράφουν και να εκδίδουν ακριβά βοηθητικά βιβλία , συμπληρωματικά του σχολικού βιβλίου στη συγγραφή του οποίου συμμετείχαν.
Συμπληρωματικά θα λέγαμε, πως η καθιέρωση κάθε νέου προγράμματος σπουδών θα πρέπει να συνοδεύεται από σοβαρή ενημέρωση για την εφαρμογή τους, τόσο των εκπαιδευτικών όσο και των γονιών, διαφορετικά είναι δώρο άδωρο.
Όλα τα παραπάνω, που αναφέρουμε ενδεικτικά, είναι προς αποφυγήν.
Θα μπορούσε να γραφτεί ολόκληρο βιβλίο κριτικάροντας τα προγράμματα σπουδών και τα σχολικά βιβλία και προτείνοντας ριζικές λύσεις. Δεν είναι όμως αυτό το θέμα της παρούσας συνοπτικής πρώτης ανάλυσης, που είναι προϊόν διδακτικής εμπειρίας και όχι ειδικής έρευνας και μελέτης.
Το νέο πρόγραμμα σπουδών, που αναφέρει τον εκπαιδευτικό ως επαγγελματία30 και όχι ως λειτουργό, δεν έχει τίποτε το καινούργιο, το πρωτότυπο, κανέναν εκσυγχρονισμό. Προτείνει μόνο ένα εξωπραγματικό περιεχόμενο. Από τον τρόπο παρουσίασης, έκφρασης, λεξιλογίου και ουσίας μπορεί κανείς να υποθέσει ότι πρόκειται για μεταφορά από κάποιο εξεζητημένο ξενόγλωσσο κείμενο, χαμένο πιθανόν στη μετάφραση.
Η Εκπαίδευση έχει την ικανότητα να καλλιεργεί ταλέντα, να εμπνέει ενθουσιασμό, να αυξάνει την κοινωνική κινητικότητα και να προσφέρει το όχημα που θα κάνει τους αυριανούς ενήλικες να εξελιχθούν σε μορφωμένους, δημιουργικούς, ενεργούς και ευσυνείδητους πολίτες. Όμως τα εκπαιδευτικά συστήματα είναι εξίσου ικανά να καταστρέφουν τα κίνητρα μαθητών και εκπαιδευτικών, να στερούν ευκαιρίες και να διευρύνουν προϋπάρχουσες κοινωνικές ανισότητες31.
Το Υπουργείο Παιδείας, με τα νέα προγράμματα σπουδών που θέλει να επιβάλει, ερήμην όλων, καταπιέζει απροκάλυπτα τους μαθητές να ακολουθήσουν δρόμους και πρακτικές έξω από τη φύση, τα ενδιαφέροντά τους και την προϊστορία του Είδους μας.
Ευνουχίζει τη δημιουργική φαντασία και τον αυθορμητισμό των παιδιών. Επιχειρεί να κατευθύνει τη σκέψη τους σε φορμαλιστικά μονοπάτια. Προσπαθεί να τα εθίσει σε μια μίζερη, άνυδρη αποκλειστικά τεχνοκρατική κοινωνία, σε έναν κόσμο εικονικής πραγματικότητας, που προδιαγράφει το μέλλον τους σαν αυτοεκπληρούμενη προφητεία.
Η επιχειρούμενη προσπάθεια του Υπουργείου Παιδείας, να μετατρέψει, μέσω των προγραμμάτων σπουδών, τους μαθητές σε πειθήνια μέλη της κοινωνίας των αγορών, σε απρόσωπα διαδικτυακά «ανθρωπάκια του Γαϊτη», εγκυμονεί κινδύνους για την πνευματική ανάπτυξη των παιδιών, την μορφωτική εξέλιξη και το μέλλον τους.
Τούλα Πάντου - Γιάννης Σιούλας
Μαθηματικός Συνταξιούχος Εκπ/κός - Μαθηματικός καθηγητής Δημόσιας Εκπαίδευσης
Παρουσιάστηκε σε ημερίδα της Κίνησης για την Αλλαγή στην Μαθηματική Εκπαίδευση
https://www.youtube.com/channel/UC9HQO__3C083mYar8kdBBgA
και στην περιοδική έκδοση Σελιδοδείκτης τεύχος 16
1 Διερευνώντας και επεξηγώντας τις ιδέες τους χρησιμοποιώντας σύμβολα, διαγράμματα, προφορικό και γραπτό λόγο. Από το νέο Πρόγραμμα Σπουδών για τα Μαθηματικά του Δημοτικού σελ. 5
2 1934
3 Άγγλοαυστραλέζα συγγραφέας 1899-1996
4 Προσφέρουν (τα μαθηματικά) τρόπους διαχείρισης δεδομένων σε έναν ψηφιακά προσανατολισμένο κόσμο και συμβάλλουν με καθοριστικό τρόπο στην ανάπτυξή τους ως επιτυχημένων δια βίου μαθητών/μαθητριών. Από το νέο ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ σελ. 5
5 Άσκηση 1: Επιχειρηματίας αγόρασε μετοχές… Άσκηση 2: Κεφάλαιο 80.000 κατατέθηκε… Άσκηση 3: Ένα καινούργιο αυτοκίνητο κόστισε… Άσκηση 10: Πόσο ΦΠΑ θα πληρώσουμε…, Δραστηριότητα για το σπίτι: Να μελετήσεις τα εκλογικά αποτελέσματα…
6 Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική, Constance Kazuko Kamii Georgia de Clark, στον πρόλογο του καθηγητή Φραγκίσκου Καλαβάση.
7 Ψυχοαριθμητική, Μαρία Μοντεσσόρι.
8 Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική η Constance Kazuko Kamii αναφέρει τις απόψεις του Jean Piaget.
9 Ομοίως
10 Ομοίως
11 Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική, στον πρόλογο του καθηγητή Φραγκίσκου Καλαβάση.
12 Η ψυχική Υγιεινή του Παιδιού Μαρία Γουδέλη (1906-1991)
13 Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική, Constance Kazuko Kamii Georgia de Clark, στον πρόλογο του καθηγητή Φραγκίσκου Καλαβάση
14 Ομοίως .
15 Έλληνας πολυβραβευμένος μαθηματικός και πανεπιστημιακός από το Αργοστόλι.
16 Ψυχοαριθμητική, Μαρία Μοντεσσόρι.
17 Ψυχοαριθμητική Μαρία Μοντεσσόρι
18 Η Ψυχική Υγιεινή του Παιδιού , β’ μέρος Μαρία Γουδέλη
19 Νέο Πρόγραμμα Σπουδών ενδεικτικά: Α΄Δημοτικού Σ.Δ.1.3. , Σ.Δ.1.4 (σελ.19). , Π.Π..1.1., Π.Π..1.2. , Π.Π.1.3.
Β΄Δημοτικού Αρ.Φ.2.16. ( σελ.21) Αλ.Π.2.1., Αλ.Π.2.2. (σελ. 24) , Σ.Δ.2.1. Σ.Δ.2.2. Σ.Δ.2.3 Σ.Δ.2.4 (σελ. 30)
20 Φυτώρια ευφυίας , ένα ταξίδι στα καλύτερα εκπαιδευτικά συστήματα του Κόσμου Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης.
21 « Οι Φινλανδοί έχουν έναν από τους υψηλότερους δείκτες αλφαβητισμού παγκοσμίως» Φυτώρια ευφυίας σελ.35
22 Μαρία Μοντεσσόρι. Το υλικό πνευματικής ανάπτυξης που επινόησε, βασισμένη και σε προγενέστερων παιδαγωγών εκπαιδευτικά «παιχνίδια», είναι η πεμπτουσία της μοντεσσοριανής θεωρίας.
23 Η κυβική παλάμη υπάρχει στο εμπόριο υπό μορφή μορφωτικού παιχνιδιού.
24 Υπάρχουν και σήμερα στο εμπόριο
25 Το επίτευγμα του Gauss στα μαθητικά του χρόνια, όπως τουλάχιστον έχει διασωθεί σαν θρύλος.
26 Μαρία Μοντεσσόρι (ψυχοαριθμητική, Ψυχογεωμετρία), Jean Piaget, Μαρία Γουδέλη (H Ψυχική Υγιεινή του παιδιού, β΄μέρος), Ovide Decroly, Constance Kazuko Kamii (Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν τα Μαθηματικά»).
27 Μαρία Μοντεσσόρι
28 Που διδάσκονται μέχρι σήμερα
29 Στο τελευταίο τεύχος του Μικρού Ευκλείδη της ΕΜΕ, υπάρχει δημοσίευση με τίτλο Βρες το λάθος. Τα λάθη περιέχονται στα λυμένα προβλήματα του βιβλίου του δασκάλου.
30 Νέο Πρόγραμμα Σπουδών: Κεφ.4 Ο εκπαιδευτικός ως κριτικά αναστοχαζόμενος επαγγελματίας
31 Φυτώρια Ευφυίας, ένα ταξίδι στα καλύτερα εκπαιδευτικά συστήματα του κόσμου, Lucy Crehan, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
Όλες οι σημαντικές και έκτακτες ειδήσεις σήμερα
ΕΛΜΕΠΑ: Το κορυφαίο πρόγραμμα Ειδικής Αγωγής στην Ελλάδα για διπλή μοριοδότηση
Το 1ο στην Ελλάδα Πρόγραμμα επιμόρφωσης Τεχνητής Νοημοσύνης για εκπαιδευτικούς με Πιστοποιητικό
ΑΣΕΠ: Η πιο Εύκολη Πιστοποίηση Αγγλικών για μόρια σε 2 ημέρες (δίνεις από το σπίτι σου με 95 ευρώ)
Παν.Πατρών: Μοριοδοτούμενο σεμινάριο ΕΙΔΙΚΗ ΑΓΩΓΗΣ με 65Є εγγραφή - έως 18/11
ΕΥΚΟΛΕΣ πιστοποιήσεις ΙΣΠΑΝΙΚΩΝ - ΙΤΑΛΙΚΩΝ - ΓΑΛΛΙΚΩΝ - ΓΕΡΜΑΝΙΚΩΝ για ΑΣΕΠ - Πάρτε τις ΑΜΕΣΑ
2ος Πανελλήνιος Γραπτός Διαγωνισμός ΑΣΕΠ: Τα 2 μαθήματα εξέτασης και η ύλη
