Alfavita Newsroom Είναι πολλά τα παράδοξα που υπάρχουν στα μαθηματικά. Ωστόσο, μπορούν να εξηγηθούν, καθώς δεν πρόκειται για λάθη.
Το «Ξενοδοχείο του Χίλμπερτ»
Φανταστείτε ότι φτάνετε σε μια πόλη χωρίς να έχετε κλείσει δωμάτιο σε ξενοδοχείο. Συναντάτε ένα ωραίο ξενοδοχείο, στο οποίο έχει δοθεί το όνομα του διάσημου μαθηματικού Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Φτάνοντας στη ρεσεψιόν διαπιστώνετε πως το ξενοδοχείο έχει άπειρα δωμάτια, αριθμημένα με βάση τους φυσικούς αριθμούς: 1, 2, 3, … Ωστόσο, ο ρεσεψιονίστ υποστηρίζει ότι το ξενοδοχείο είναι γεμάτο. Γνωρίζοντας καλά μαθηματικά, του προτείνετε έναν τρόπο να μπορέσει να φιλοξενήσει κι εσάς και οποιονδήποτε άλλον επισκέπτη έρθει.
Αρκεί καθένας απ’ όσους ήδη διαμένουν στο ξενοδοχείο να μετακινηθεί στο δωμάτιο που έχει αριθμό κατά 1 μεγαλύτερο από εκείνον του δωματίου όπου διαμένει. Το άτομο που μένει στο δωμάτιο 1 θα πάει στο 2, εκείνο από το 2 θα πάει στο 3 κ.ο.κ. Επειδή το «Ξενοδοχείο του Χίλμπερτ» έχει άπειρο αριθμό δωματίων, ακόμη κι όταν είναι «γεμάτο», συνεχίζει να έχει χώρο για επιπλέον ταξιδιώτες. Αν έρθουν πολλοί μαζί όταν είναι «γεμάτο», οι διαμένοντες θα πρέπει απλώς να μετακινηθούν αρκετά δωμάτια πιο πέρα ο καθένας.
Το πράγμα γίνεται ακόμη πιο παράξενο. Ακόμη κι αν έρθει άπειρος αριθμός επιπλέον ανθρώπων που ζητούν κατάλυμα κι αυτοί μπορούν να φιλοξενηθούν στο πλήρως κατειλημμένο ξενοδοχείο, αρκεί καθένας από τους ήδη διαμένοντες να μετακινηθεί στο δωμάτιο που έχει αριθμό διπλάσιο από αυτό του δωματίου όπου διαμένει έως τώρα, καθώς έτσι θα προκύψουν άπειρα κενά δωμάτια με μονό αριθμό και άπειρα κενά δωμάτια με ζυγό αριθμό. Οι ακολουθίες αριθμών δείχνουν πως ένας άπειρος αριθμός ανθρώπων μπορεί να βρουν δωμάτιο σε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωματίων.
Ο Γερμανός μαθηματικός Ντ. Χίλμπερτ παρουσίασε αυτό το υποτιθέμενο παράδοξο σε μια διάλεξή του για την απειρότητα, το 1925. Το παράδειγμα αυτό δείχνει πως δεν μπορούν όλες οι έννοιες να μεταφερθούν από το πεπερασμένο στο άπειρο: Οι δηλώσεις «κάθε δωμάτιο είναι κατειλημμένο» και «το ξενοδοχείο δεν μπορεί να φιλοξενήσει άλλους ανθρώπους» είναι συνώνυμες στον πεπερασμένο κόσμο της καθημερινότητας, αλλά όχι σε έναν κόσμο όπου υπάρχουν απειρότητες.
Όλες οι σημαντικές και έκτακτες ειδήσεις σήμερα
Voucher 750 ευρώ για εργαζόμενους ιδιωτικού: Ξεκινούν 10/3 οι αιτήσεις
