Alfavita Newsroom Είναι πολλά τα παράδοξα που υπάρχουν στα μαθηματικά. Ωστόσο, μπορούν να εξηγηθούν, καθώς δεν πρόκειται για λάθη.
Το παράδοξο των γενεθλίων
Δεν είναι σπάνιο να είχε διαπιστώσει κανείς τα χρόνια που πήγαινε σχολείο ότι κάποιοι συμμαθητές του τύχαινε να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του έτους. Καταρχάς αυτό μοιάζει με τεράστια σύμπτωση, αφού το έτος έχει 365 μέρες (366 όταν είναι δίσεκτο, αλλά θα το αγνοήσουμε για απλούστευση), ενώ μια τάξη συνήθως έχει γύρω στους 25 μαθητές (και με εγκύκλιο του υπουργείου Παιδείας πια). Η διαίσθησή μας λέει ότι οι πιθανότητες δύο μαθητές να έχουν γεννηθεί την ίδια μέρα του έτους είναι μικρές. Στην πραγματικότητα η πιθανότητα δύο άνθρωποι σε μια ομάδα 23 ατόμων να έχουν κοινά γενέθλια είναι μεγαλύτερη από 50%.
Για να το καταλάβει καλύτερα κανείς αυτό πρέπει να δει όχι τον αριθμό των ανθρώπων, αλλά τον αριθμό των ζευγών ανθρώπων. Οι 23 μαθητές μπορούν να ομαδοποιηθούν σε (23 x 22) / 2 = 253 ζεύγη και αυτός ο αριθμός ξεπερνάει τον μισό αριθμό ημερών του έτους. Ωστόσο, η πιθανότητα που έχει ένας μαθητής τάξης με 23 παιδιά να έχει γεννηθεί μια συγκεκριμένη μέρα είναι μόλις 1 – ((365 – 1) / 365) ^ 23 = 6,1%. Το παράδοξο των γενεθλίων πηγάζει από το γεγονός ότι από τα ζεύγη μαθητών προκύπτει μεγαλύτερος αριθμός πιθανοτήτων, απ’ ό,τι αν εξετάσει κανείς τους μαθητές μεμονωμένα.
Αυτό είναι κάτι που έχει χειροπιαστή επίπτωση στην κρυπτογραφία. Όταν πρόκειται να υπογραφεί ψηφιακά ένα έγγραφο μετατρέπεται μέσω μιας διαδικασίας σε ακολουθία χαρακτήρων ορισμένου μεγέθους (hash). Αυτή η ακολουθία αλλάζει ακόμη κι αν γίνει η παραμικρή τροποποίηση του κειμένου. Η διαφύλαξη αναλλοίωτης της συγκεκριμένης ακολουθίας σημαίνει πως το έγγραφο δεν πειράχθηκε, καθώς η πιθανότητα να παραχθεί η ίδια ακολουθία από δύο διαφορετικά έγγραφα είναι εξαιρετικά μικρή.
Ωστόσο, κάποιος μπορεί να κάνει «επίθεση γενεθλίων» στη μέθοδο αυτή, δημιουργώντας πολλές διαφορετικές παραλλαγές του εγγράφου προς υπογραφή, από τις οποίες μία σε κάθε ζευγάρι είναι παραλλαγή του κανονικού εγγράφου και μία του τροποποιημένου, συγκρίνοντας τις παραγόμενες ακολουθίες κατά ζεύγη. Έτσι μπορεί να βρει πιο γρήγορα δύο έγγραφα που οι «υπογραφές» τους θα είναι ίδιες, αντί να προσπαθήσει να φτιάξει ένα έγγραφο που έχει ίδια ακολουθία – υπογραφή με το έγγραφο που θέλει να αλλοιώσει. Τότε δίνει για ψηφιακή υπογραφή το έγγραφο με το κανονικό περιεχόμενο, αλλά μετά ισχυρίζεται πως υπογράφηκε από το θύμα το τροποποιημένο έγγραφο, καθώς είναι αδύνατο να ανιχνευτεί η απάτη.
Όλες οι σημαντικές και έκτακτες ειδήσεις σήμερα
Γιατί τα παράθυρα στις σχολικές αίθουσες μπαίνουν αριστερά των μαθητών
